VARIACIONES

Veamos otro ejemplo: Ana, Beba y Cecilia sacaron entradas para ir al teatro.

Supongamos que al llegar encuentran 5 asientos vacíos, tienen muchas formas de sentarse. Veamos de cuántas formas posibles pueden sentarse:
Ana tiene cinco posibilidades para elegir su asiento. Cuando Ana está sentada a Beba le quedan sólo cuatro lugares para elegir entre los restantes que quedan vacíos. Cuando Ana y Beba se sentaron Cecilia tiene tres lugares entre los que puede elegir para sentarse, entonces si planteamos un diagrama con todas las posibilidades que se presentan nos quedaría:

                             ANA                      BEBA             CECILIA

 

 

 Es decir , por cada elección de Ana , Beba tendrá 4 posibilidades. Una vez que Ana y Beba eligen sus lugares, a Cecilia le que dan 3 posibilidades. En total, se pueden sentar de :

5 x 4 x 3 = 60 maneras distintas.

Que en el diagrama se ve representado por cada una de las ramas. Entonces los grupos que se pueden formar con esos 5 elementos tomados de a 3, los vamos a llamar variaciones de 5 elementos tomados de a 3 y lo vamos a indicar V5^3 , y en forma general diremos:

Vm^n.

Así, en el ejemplo de las 12 fracciones que anteriormente se formaron con las cuatro cifras 2, 5, 8 y 9 tomadas de a 2 constituyen otro ejemplo de variaciones que en este caso es de 4 elementos tomados de a 2.

Veamos otro ejemplo de variaciones y vamos a tratar de deducir la forma práctica para su cálculo o resolución.

Supongamos que tomamos cinco cifras: 1, 3, 5, 6, 7.

Vamos a ir calculando las diferentes variaciones de esos 5 elementos tomados de a 1, de a 2, de a 3, etc.  Calculamos primero las variaciones de 5 elementos tomados de a 1, son los cinco números: 1; 3; 5; 6; 7

V51 = 5

Dadas esas mismas cifras vamos a escribir todos los números de dos cifras que podemos formar, es decir vamos a calcular las variaciones de esos 5 elementos tomados de a 2:

 

                   13   31   51   61   71

4 filas         15   35   53   63   73
                   16   36   56   65   75
                   17   37   57   67   76

                            5 columnas 

los distribuimos en 4 filas y 5 columnas, o sea un total de  5 x 4 = 20 números.

O sea que nos queda: V5^2 = 5 x 4

Dadas esas mismas cifras vamos a escribir todos los números dife-

rentes de 3 cifras distintas que se pueden formar:

                      135   153.............................761
3 filas            136   156.............................763
                      137   157.............................765
                                    20 columnas

es decir, un total de 20 x 3 = 60 números

Este sería un ejemplo de variaciones de 5 tomados de a 3:
V5^3 = 20 x 3 = 5 x 4 x 3 = 60

Dadas esas cifras si queremos formar todos los números de cuatro
cifras diferentes, constituyen un ejemplo de variaciones de 5 elemen-
tos tomados de a 4 serían 120 números:

V5^4 = 5 x 4 x 3 x 2 = 120
Si observamos todas las variaciones que hemos calculado:
V5^1 = 5
V5^2 = 5 x 4
V5^3 = 5 x 4 x 3
V5^4 = 5 x 4 x 3 x 2
En todos los casos resulta igual al producto de números a partir de 5  y en forma decreciente tantos factores como indica el número de elementos que se toma en la variación. Es decir, en el caso de variaciones de cinco elementos tomados de a uno es el producto de un solo factor el 5; en el caso de variaciones de 5 tomados de a 2, se
toman dos factores a partir de 5 (el 5 y el 4); en el caso de variacio nes de 5 elementos tomados de a 3, se toman 3 factores a partir de 5 (el 5, el 4 y el 3), etc.

Entonces en general podríamos decir que: si tenemos variaciones de m elemens si tenemos variaciones de m elementos tomados de a n, eso será igual al producto de n números naturales decrecientes y sucesivos a partir de m, es decir:

V mn = m (m - 1) (m - 2) .......(m - (n - 1))
n facto

Si tenemos variaciones de m elementos tomados de a n, eso será igual al producto de n números naturales decrecientes y sucesivos a partir de m, es decir:
V mn = m (m - 1) (m - 2) .......(m - (n - 1))
n factores

Veamos que ocurre si deseamos calcular las variaciones de 5 elementos  tomados de a 5:
V5^5 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5!
Y a esta variación le daremos el nombre de permutaciones, por lo tanto, vamos a definir a:


Las permutaciones de n elementos como las variaciones de n elementos tomados de a n.
Pn = Vn^n


tos tomados de a 4 serían 120 números:
V 54 = 5 x 4 x 3 x 2 = 120

Si observamos todas las variaciones que hemos calculado:
V 51 = 5
V 52 = 5 x 4
V 53 = 5 x 4 x 3
V 54 = 5 x 4 x 3 x 2

En todos los casos resulta igual al producto de números a partir de 5 y en forma decreciente tantos factores como indica el número de elementos que se toma en la variación. Es decir, en el caso de variaciones de cinco elementos tomados de a uno es el producto de un solo factor el 5; en el caso de variaciones de 5 tomados de a 2, se toman dos factores a partir de 5 (el 5 y el 4); en el caso de variaciones de 5 elementos tomados de a 3, se toman 3 factores a partir de 5 (el 5, el 4 y el 3), etc.

Entonces en general podríamos decir que:

si tenemos variaciones de m elementos tomados de a n, eso será igual al producto de n números naturales decrecientes y sucesivos a partir de m, es decir:
V mN = m (m - 1) (m - 2) .......(m - (n - 1)) n factores